REDUKSI MASALAH CAUCHY ABSTRAK DEGENERATE KE MASALAH CAUCHY ABSTRAK NONDEGENERATE

REDUKSI MASALAH CAUCHY ABSTRAK DEGENERATE
KE MASALAH CAUCHY ABSTRAK NONDEGENERATE
Susilo Hariyanto
Jurusan Matematika FMIPA UNDIP
Jl. Prof. H. Soedarto, S.H, Semarang 50275

Abstract. In this article, we investigate how to reduce an abstract degenerate Cauchy problem
to an abstract nondegenerate Cauchy problems. This problem is discussed in the Hilbert space
which can be writen as an orthogonal direct sum of Ker M and RanM . Under certain
assumptions, abstract degenerate Cauchy problems can be reduced to abstract nondegenerate
Cauchy problems which is easier to solve. If we have a solution of abstract nondegenerate
Cauchy problem, then using certain transformation we can find the solution of abstract
degenerate Cauchy problems.
Key words: Degenerate Cauchy Problems, Nondegenerate Cauchy Problems
.
1. PENDAHULUAN
Masalah Cauchy abstrak degenerate
mulai mendapatkan perhatian bagi para
peneliti kurang lebih dalam sepuluh tahun
terakhir. Dalam kasus dimensi berhingga
masalah ini dapat dipahami lebih mudah

dan lengkap dibandingkan dalam kasus
berdimensi takhingga. Hal ini disebabkan
dalam kasus dimensi hingga dimungkinkan
membawa matrik M dan A (1.1) bersamasama
ke bentuk normal.
Diperhatikan masalah Cauchy abstrak,
Mz(t) Az(t),
dt
d  (1.1)
dengan M, A operator-operator linear dari
ruang Hilbert H ke ruang Hilbert K dan
operator M belum tentu mempunyai invers.
Permasalahan (1.1) disebut degenerate, jika
operator M tidak mempunyai invers.
Berikut akan diselidiki cara mereduksi
masalah Cauchy abstrak degenerate
ke masalah Cauchy abstrak nondegenerate.
Jika cara ini dapat ditemukan, maka untuk
menyelesaikan masalah Cauchy abstrak
degenerate dapat dikerjakan dengan menyelesaikan
terlebih dahulu masalah
Cauchy nondegenerate yang selanjutnya
dikonversi ke penyelesaian dari masalah
Cauchy degenerate. Oleh sebab itu akan
di-selidiki asumsi-asumsi yang diperlukan
agar Masalah Cauchy abstrak degenerate
dapat dibawa ke masalah Cauchy abstrak
nondegenerate yang lebih mudah untuk
dicari penyelesaiannya.
Masalah Cauchy abstrak dalam kasus
dimensi berhingga telah dibahas secara
lengkap beserta contoh dan aplikasinya
dalam teori kontrol [3]. Masalah Cauchy
dalam kasus dimensi tak hingga diantaranya
dibicarakan oleh [5]. Dalam pembahasannya
diasumsikan bahwa operator
M self adjoint dan non negatif. Selain itu
masalah Cauchy dalam ruang Banach juga
telah dibahas [1]. Masalah Cauchy abstrak
nondegenerate secara lengkap sudah dibahas
oleh [4]. Aplikasi masalah Cauchy
nondegenerate pada limit nonrelativistik
dari persamaan dirac juga telah dibahas
oleh [6].
2. KONSEP DASAR
Penyelesaian masalah Cauchy
abstrak degenerate berkaitan dengan infinitesimal
generator suatu semigrup kontinu
kuat. Teori-teori tentang semigrup kontinu
kuat dibahas oleh [2]. Adapun sebagai
penunjang penelitian ini diperlukan teoriteori
tentang operator linear pada ruang
Hilbert, yang diantaranya telah dibahas
Jurnal Matematika Vol. 8, No.1, April 2005: 33-36
34
oleh [7]. Berikut akan diberikan beberapa
definisi dan teorema dasar yang diperlukan
untuk pembahasan selanjutnya.
Definisi 2.1. [7] Operator T : H1  H2
dikatakan tertutup jika dipenuhi: Jika
barisan {fn} D(T) konvergen di dalam
H1 dan barisan {Tfn} konvergen di
dalam H2 , maka lim fnD(T) dan T(lim
fn)=lim Tfn.
Definisi 2.2. [2]
Diberikan S(  ) : 0, H keluarga
operator terbatas pada X . S() disebut
semigrup jika
(i) S(0)  I,
(ii) S( t  s )  S( t ) S( s ), t,s  0 .
Selanjutnya jika dipenuhi :
(iii)  X,
 
lim S( t )x x, untuk setiap x
t 0
maka S(  ) disebut semigrup kontinu kuat.
Definisi 2.3. [2]
Diberikan S(  )0, H . Semigrup kontinu
kuat pada X. Operator linear A
dikatakan infinetisimal generator dari S(  ) ,
jika S( h )x x,
h
Ax lim
h
 1 
0
untuk
x D( A) =  
  
  
 S( h )x  x ada
h
x | hlim
1
0 X .
Teorema 2.4 [4]. Diberikan A operator
linear terdefinisi dense dengan ( A)  .
Masalah nilai awal, u( t ) Au( t )
dt
d  , t>0 dan
(u(0)=x) mempunyai penyelesaian tunggal
yang turunannya kontinu pada 0, untuk
setiap nilai awal yang diberikan jika dan
hanya jika A merupakan infinetisimal generator
dari suatu semigrup kontinu kuat.
Adapun penyelesaian masalah Cauchy
abstrak pada persamaan (1.1) yang
dimaksud dalam pembahasan ini didefinisikan
sebagai berikut.
Definisi 2.5. Penyelesaian strict dari masalah
Cauchy abstrak (1.1) adalah suatu
fungsi kontinu z : [ 0,)H sehingga
z(t) D(A)D(M) untuk semua t  0 ,
Mz( t ) mempunyai turunan yang kontinu
dan memenuhi persamaan (1.1).
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam mereduksi masalah Cauchy
abstrak degenerate ke nondegenerate diperlukan
beberapa pengertian dan asumsi
di bawah ini.
Misalkan dibentuk suatu himpunan DA
={z(t)D(A)|Az(t) ( Ran M ) }. Dengan
menggunakan definisi 2.5, dapat disimpulkan
bahwa setiap penyelesaian strict
masalah Cauchy abstrak degenerate memenuhi
z(t)  DA untuk semua t  0 ,
dengan
DA={z(t)D(A)|Az(t) ( Ran M ) }.
Asumsi 3.1. Operator A, M tertutup dan
terdefinisi dense.
Teorema 3.2. Dengan Asumsi 3.1 operator
DA A| tertutup.
Bukti.
Misalkan zn ( t ) DAD(A) sedemikian
hingga lim zn ( t )  u( t ) dan lim Azn ( t )  v( t ) .
Karena A tertutup maka u( t ) D(A) dan
Au(t) = v(t). Akan teta-pi perlu diingat
bahwa untuk setiap z n ( t )DA, maka
Azn(t) ( Ran M ) . Oleh karena itu v(t)
( Ran M ) sehingga u(t) DA. ■
Karena M operator tertutup, maka
Ker M merupakan ruang bagian tertutup
dari H. Misalkan P proyeksi ortogonal
pada Ker M, akibatnya PT  1 P juga
merupakan proyeksi ortogonal pada (Ker
M)  . Karena M tertutup dan terdefinisi
dense dalam H, maka M* tertutup dan
terdefinisi dense dalam K. Untuk selanjutnya
misalkan pula Q proyeksi orthogonal
pada Ker M*, akibatnya QT =1-Q
juga merupakan proyeksi ortogonal pada
(Ker M*)  . Dengan demikian dapat
dituliskan
PH= Ker M, P T H= ( Ran M* ) ,
Susilo Hariyanto (Reduksi Masalah Cauchy Abstrak Degenerate … )
35
QK= Ker M* dan Q T K= ( Ran M ) .
Operator M injektif jika dan hanya
jika Ker M={0}. Oleh karena itu agar dimungkinkan
mereduksi operator M yang
belum tentu mempunyai invers ke operator
yang mempunyai invers terlebih dahulu didefinisikan
operator pembatasan dari M
pada
(Ker M)  D(M) sebagai berikut.
Mr = D(Mr ) M | , dengan D(Mr) = (ker
M)  D(M).
Operator D(Mr ) M | =Mr mempunyai invers
seperti tertuang dalam lemma berikut.
Lemma 3.3 Operator Mr mempunyai
invers. Misalkan P T 1 {x(t)} merupakan
bayangan invers dari x(t) ( Ker M )
terhadap proyeksi P T yaitu
(PT )1{x(t)}  {x(t)  y(t) | y(t) KerM},
x(t) ( Ker M ) .
Apabila diperhatikan himpunan
  { ( )} 1 P T  x t belum tentu merupakan
singleton.
Selanjutnya akan didefinisikan
operator A0 yang merupakan operator
pembatas dari operator A pada (Ker M)
seba gai berikut
   A
1
0 { ( )}  { ( )}D  A x t P T x t
{ ( )} ( ) 0 A x t  Ran M , (1.2)
untuk setiap x(t)D(A0)
dengan, D(A0)=
    
  
      A
x( t ) ( KerM ) | P T { x( t )} D 1 .
Operator A0 bernilai tunggal jika
  A
P T { x( t )}D 1 merupakan singleton.
Untuk itu diperlukan asumsi sebagai
berikut.
Asumsi 3.4. PDA  DA dan operator
(QAP)|PDA mempunyai invers yang
terbatas.
Teorema 3.5. Dengan Asumsi 3.1 dan 3.4,
vektor z(t) H merupakan anggota ruang
bagian DA jika dan hanya jika z(t)D(A)
dan Pz( t )  (QAP )1QAP T z( t ) .
Akibat 3.6. Setiap x( t )P T DA
 (ker M )
menyatakan dengan tunggal z (t ) DA
sehingga x(t) = P T z(t) dan
z(t) = (1-(QAP)-1QA) x(t).
Menurut Akibat 3.6 dapat disimpulkan
bahwa himpunan
  A
P T {x(t)} D 1  
merupakan singleton.
Selanjutnya berdasarkan Akibat 3.6
dapat didefinisikan operator ZA yaitu
sebagai berikut.
T ( ) 1 T .
A Z  P  QAP  QAP
Operator ZA terdefinisi pada
D(ZA) P T DA.
Pembatasan
A
T A P D Z | adalah 1 (QAP)1QA
pada P T DA yang merupakan invers dari
proyeksi DA
P T | dalam arti T  1
Z AP pada
DA dan A  1
P T Z , pada P T DA .
Jadi operator A0 (lihat 2) dapat dinyatakan
menjadi A0=A ZA, pada D(A0)= P T DA dan
untuk setiap z(t)  DA diperoleh A0x(t )=
Az(t) dengan x( t )  P T z( t ).
Asumsi 3.7. Operator A mempunyai invers
yang terbatas.
Operator A tertutup dan mempunyai
invers terbatas ekuivalen dengan
operator A injektif dengan Ran A = K. Hal
ini berakibat A|DA mempunyai invers terbatas
yaitu
A|DA : DA
Q T K,
( DA A | )-1 : Q T K DA.
Dengan demikian operator A0
-1 = (A ZA)-1=
Q TK
PT A1 | terbatas dan terdefinisi pada
Q T K .
Dengan asumsi-asumsi di atas,
maka untuk setiap z DA diperoleh Az =
A0 x, dengan x  P Tz. Lebih lanjut untuk
Jurnal Matematika Vol. 8, No.1, April 2005: 33-36
36
zD(M) diperoleh Mz=M x r , dengan
x  P T z n dan operator r M invertibel. Jadi
masalah Cauchy abstrak degenerate (1.1)
dapat direduksi ke bentuk nondegenerate:
. 0
T
r 0 M x(t) A x(t), x(0) P z
dt
d  
4. PENUTUP
Untuk mencari penyelesaian masalah
Cauchy abstrak degenerate dapat
dilakukan dengan terlebih dahulu mereduksi
masalah Cauchy degenerate ke
masalah Cauchy nondegenerate yang lebih
mudah dicari penyelesaiannya. Bentuk ini
lebih mudah diselesaikan karena operator
M invertibel. Selanjutnya untuk mencari
penyelesaian masalah Cauchy degenerate
digunakan operator tertentu yang mengawankan
setiap penyelesaian nondegenerate
ke degenerate ke penyelesaian masalah
Cauchy abstrak degenerate. Oleh karena
itu sebagai saran, studi tentang operator
tertentu tersebut sangat menarik untuk
dikaji lebih lanjut.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Favini, A. (1985), Degenerate and
Singular Evolution Equations in
Banach Space, Math. Optim. 6: 17-44
[2] Kappel, F., Schappacher, W. (2000),
Strongly Continuous Semigroups, An
Introduction.
[3] Dai, L.(1989), Singular Control
Systems, Lecture Notes in Control and
Inform. Sci., 118, Springer-Verlag,
Berlin-Heidelberg-New York.
[4] Pazi, A. (1983), Semigroups of Linear
Operators and Applications to Partial
Differential Equations, Springer-
Verlag, New York.
[5] Carrol, RW., Sholwater,R.E.(1976),
Singular ang Degenerate Cauchy
Problems, Math. Sci. Engrg., 127,
Academic Press, New York-San
Fransisco-London.
[6] Thaller, B., Thaller, S. (1996),
Factorization of Degenerate Cauchy
Problems: The Linear Case, J. Operator
Theory: 121-146.
[7] Weidman, J. (1980), Linear Opera-tors
in Hilbert Spaces, Springer-Verlag,
Berlin-Heidelberg-New York .